Résolution de singularités avec exemples (02/2016 - 06/2016)

Objectif

Apprendre une démonstration du théorème de résolution de singularités de Hironaka et ses applications. Cette démonstration, assez technique, est censée produire un algorithme pour la résolution d'une variété quasi-projective. On mettra donc l'accent sur des exemples concrets pour illustrer la théorie générale.

Durée des exposés

Une à deux heures.

Lieu

Salle 229 ou 228, Bât. 440, Orsay.

Exposés

  • 04/02/2016 Introduction ; éclatements (approche naïve) - Tiago.
  • 18/02/2016 Blow-ups - Emiliano.
  • 25/02/2016 Rappels d'algèbre commutative - Salim.
  • 03/02/2016 Résolution d'une courbe dans une surface lisse I : cas du corps algébriquement clos, caractéristique 0 - Sasha.
  • 15/03/2016 Résolution d'une courbe dans une surface lisse II : cas général - Sasha.
  • 07/04/2016 Résolution des singularités pour les surfaces - Diego.
  • 21/04/2016 Le théorème de Hironaka : énoncé - Yang.
  • 28/04/2016 Le théorème de Hironaka : préliminaires et idée de démonstration - Yang.
  • 12/05/2016 Le théorème de Hironaka : démonstration (partie 1) - Tiago.
  • 09/06/2016 Le théorème de Hironaka : démonstration (partie 2) - Diego.
  • 23/06/2016 Le théorème de Hironaka : démonstration (partie 3) - Cong.

Plan prévisionnel

  1. Introduction. Qu'est-ce que c'est qu'une résolution de singularités ? Énoncé du théorème de Hironaka. Éclatements : approche naïve. (1 exposé)
  2. Éclatements : approche générale. Propriété universelle, théorèmes généraux, exemples sur un corps non-algébriquement clos (possiblement de caractéristique non-nulle) et comparaison avec l'approche naïve. (2 exposés) 
  3. Pré-requis formels : complétion (schémas formels ?), théorème de Cohen et théorème de préparation de Weierstrass. (1 exposé)
  4. Résolution de courbes. Résolution d'une courbe dans une variété lisse par un nombre fini d'éclatements (théorèmes 3.11 et 3.15 de Cutkosky). Au moins un exemple détaillé où plus d'un éclatement est necéssaire. (2 exposés).
  5. Résolution de surfaces. Résolution d'une surface dans une variété lisse de dimension 3 (section 5.2 de Cutkosky). (1 exposé)  
  6. Le théorème de Hironaka. Énoncés, schéma de preuve et conséquences (e.g. théorèmes de compactification). (1 exposé)
  7. Preuve du théorème de Hironaka (d'après Encinas & Villamayor). Chapitre 6 de Cutkosky, en illustrant chaque étape avec des exemples concrets. (? exposés)
Références
  • S. D. Cutkosky, Resolution of Singularities, Graduate Studies in Mathematics 63, AMS. 
  • S. Encinas & O. Villamayor, A course on constructive desingularization and equivariance, Progress in Mathematics, Vol. 181 (2000), Birkhäuser.
  • S. Encinas & O. Villamayor, A new proof of desingularization over fields of characteristic zero, Rev. Mat. Iberoamericana 19 (2003), 339-353.
  • A. Grothendieck, Travaux de Heisouke Hironaka sur la résolution des singularités, Actes, Congrès intern. math., 1970, Tome 1, 7-9.
  • H. Hironaka, Resolution of singularities of an algebraic variety over a field of characteristic zero: I, Annals of Mathematics, Vol. 79, No. 1 (1964), 109-213. 
  • H. Hironaka, Resolution of singularities of an algebraic variety over a field of characteristic zero: II, Annals of Mathematics, Vol. 79, No. 2 (1964), 205-326.