Objectif
Apprendre pourquoi il existe des extensions de Q, non-ramifiées dehors de deux premiers donnés, de degré divisible par un entier donné. La démonstration de Chenevier et Clozel dans [CC1] est essentiellement la construction d'une forme automorphe avec de bonnes propriétés, donc on va utiliser ce résultat comme une excuse pour apprendre la théorie des formes automorphes et un peu de Langlands locale.
Durée des exposés
Une à deux heures.
Lieu
Les lundis à 16h, salle 225-227, bâtiment 425.
Exposés
13/02 : Introduction - Sasha
06/03 : Groupe fondamental étale I - Guillaume
27/03 : Groupe fondamental étale II - Guillaume
10/04 : Cohomologie étale - Salim
17/04 : Cohomologie l-adique - Salim
24/04 : Formes automorphes I : représentations galoisiennes à partir des formes modulaires - Mikołaj
10/05 : Formes automorphes II : interprétation adélique - Cong
15/05 : Formes automorphes III : cas d'un groupe unitaire arithmétique - Tiago
22/05 : Formes automorphes IV - Yoël
17/07 : Démonstration, cas particulier - Yoël
Exposés
13/02 : Introduction - Sasha
06/03 : Groupe fondamental étale I - Guillaume
27/03 : Groupe fondamental étale II - Guillaume
10/04 : Cohomologie étale - Salim
17/04 : Cohomologie l-adique - Salim
24/04 : Formes automorphes I : représentations galoisiennes à partir des formes modulaires - Mikołaj
10/05 : Formes automorphes II : interprétation adélique - Cong
15/05 : Formes automorphes III : cas d'un groupe unitaire arithmétique - Tiago
22/05 : Formes automorphes IV - Yoël
17/07 : Démonstration, cas particulier - Yoël
Plan provisoire
Introduction. Les problèmes classiques en théorie algébrique des nombres, théorème de Chenevier-Clozel, schéma de la preuve. (1 exposé)
Représentations galoisiennes et cohomologie étale. Groupe fondamental étale, systèmes locaux, lien avec le cadre topologique. Cohomologie étale et l-adique, bonne réduction implique action triviale de l'inertie. (2 exposés)
Formes automorphes. (3 exposés)
La correspondance de Langlands locale. [W] (1 exposé)
Démonstration, cas particulier. Globalisation des formes supercuspidales. Existence de représentations automorphes cuspidales du groupe unitaire. [CC2], [C] (2 exposés)
Cas général. [CC1] (1 exposé)
Références
[CC1] G. Chenevier and L. Clozel, Corps de nombres peu ramifiés et formes automorphes autoduales, J. Amer. Math. Soc. 22 (2009), 467-519.
[CC2] G. Chenevier and L. Clozel, Notes de cours "Formes automorphes et groupe de Galois absolu de Q", http://gaetan.chenevier.perso.math.cnrs.fr/articles/LA.pdf.
[CC2] G. Chenevier and L. Clozel, Notes de cours "Formes automorphes et groupe de Galois absolu de Q", http://gaetan.chenevier.perso.math.cnrs.fr/articles/LA.pdf.
[C] G. Chenevier, On number fields with given ramifications, Compositio Math. 143 (2007), 1359-1373.
[De] P. Deligne, Théorie de Hodge I, Actes du Congrès International des Mathématiciens (Nice, 1970), Tome 1, pp. 425–430.
[Le] H.W. Lenstra, Galois theory for schemes, http://websites.math.leidenuniv.nl/algebra/GSchemes.pdf.
[Lo] T. Lovering, Etale cohomology and Galois representations, https://tlovering.files.wordpress.com/2012/06/essay-body1.pdf.
[M] J.S. Milne, Etale cohomology.
[N1] J. Neukirch, Algebraic number theory.
[N2] J. Neukirch, Cohomology of number fields.
[SGA1] A. Grothendieck, M. Raynaud, Revêtements étales et groupe fondamental. Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie 1960–1961 (SGA 1), https://arxiv.org/pdf/math/0206203.pdf
[De] P. Deligne, Théorie de Hodge I, Actes du Congrès International des Mathématiciens (Nice, 1970), Tome 1, pp. 425–430.
[Le] H.W. Lenstra, Galois theory for schemes, http://websites.math.leidenuniv.nl/algebra/GSchemes.pdf.
[Lo] T. Lovering, Etale cohomology and Galois representations, https://tlovering.files.wordpress.com/2012/06/essay-body1.pdf.
[M] J.S. Milne, Etale cohomology.
[N1] J. Neukirch, Algebraic number theory.
[N2] J. Neukirch, Cohomology of number fields.
[SGA1] A. Grothendieck, M. Raynaud, Revêtements étales et groupe fondamental. Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie 1960–1961 (SGA 1), https://arxiv.org/pdf/math/0206203.pdf
[W] T. Wedhorn, The local Langlands correspondence for GL(n) over p-adic fields, http://users.ictp.it/~pub_off/lectures/lns021/Wedhorn/Wedhorn.pdf.
